표본집단과 모집단의 관계 및 가중치 적용

아래는 chatGPT 와의 대화 내용입니다. 

모집단과 표본집단간의 관계를 어떻게 볼 것인가 고민을 많이 했습니다. 

일반적으로 우리가 볼 수 있는 모집단과 표본집단간의 관계는 선거 때 진행하는 출구 조사와 여론 조사가 있습니다. 

이 때 표본 집단을 어떻게 선정하느냐가 신뢰도에 상당한 영향을 미칩니다. 

그런데 일반적인 출구 조사의 경우는 지역 성향을 고려하기는 하겠지만, 무작위로 선택됩니다. 

다만, 진보적인 성향을 가지는 지역인지 보수적인 성향을 가지는 지역인지를 고려하여 가중치를 줌으로써 좀더 공정한 조사가 되기 위해 노력합니다. 

 

그렇다면 모의고사를 치고 난 후 본인이 근무하는 학교나 학원의 학생들의 가채점 성적을 가지고 성적처리를 한 후 이를 활용하여 예상 표준점수나 백분위, 등급 등을 추측해 볼 수 있지 않을까 생각해 보았습니다. 

물론 대형 학원들의 경우는 실제로 이러한 작업을 하고 있습니다. 하지만, 개인이 이런 통계 작업을 하는 것이 쉽지는 않을 것 같습니다. 

그래서 저는 개인적으로 chatGPT와 열심히 공부를 하고 있습니다. 

 

그 과정에서 오늘 나눈 대화를 적어 봅니다. 혹시 저와 같은 고민을 하시는 분이 계시다면 조금 도움이 되길 바랍니다. 

 

질문과 답변의 과정을 잘 봐주시면 좋을 것 같습니다. 단도직입적으로 바로 질문을 하기 보다는 가스라이팅을 한다는 생각으로 사전 질문을 치밀하게 계획하셔서 질문을 하시면 훨씬 양질의 답변을 얻을 수 있습니다. ^.^

 

### 모집단과 표본집단의 관계와 가중치 계산 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 표본집단 500명 중 90점 이상을 받은 인원이 모집단 400,000명 중 90점 이상를 받을 확률이 100% 일 때와 90%일 때, 80% 일 때 이 두 집단간의 관계를 어떻게 해석할 수 있을까? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 이 문제는 모집단과 표본집단 간의 관계를 이해하는 것이 중요합니다. 우선, "모집단 400,000명 중 90점 이상을 받을 확률이 100%"이라는 말은 모집단 전체에서 90점 이상을 받는 학생이 반드시 존재한다는 뜻입니다. 따라서, 표본집단에서도 반드시 90점 이상을 받은 학생이 존재할 것입니다. 반면에, "모집단 400,000명 중 90점 이상을 받을 확률이 90%"이라는 말은 모집단 전체에서 90점 이상을 받는 학생이 일부 존재할 수 있다는 뜻입니다. 따라서, 표본집단에서도 90점 이상을 받은 학생이 존재할 가능성이 높지만, 반드시 그렇다는 보장은 없습니다. 마지막으로, "모집단 400,000명 중 90점 이상을 받을 확률이 80%"이라는 말은 모집단 전체에서 90점 이상을 받는 학생이 일부 존재하지만 그 수가 적을 가능성이 있다는 뜻입니다. 따라서, 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생이 존재할 가능성이 있지만, 그 수는 적을 것입니다. 이러한 정보를 종합해보면, 표본집단 500명 중 90점 이상을 받은 인원이 모집단 전체에서 90점 이상을 받을 확률이 높을수록, 즉 100%에 가까울수록 더욱 신뢰성 있는 결과를 얻을 수 있다는 것을 의미합니다. 반면에, 80%와 같이 낮은 확률일수록 그 결과의 신뢰성은 떨어질 것입니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 아니, 표본 집단에서 90점 이상을 받은 학생이 모집단에서 90점 이상 받을 확률이 100% 일 때와   표본 집단에서 90점 이상을 받은 학생이 모집단에서 90점 이상 받을 확률이 90% 일 때, 표본 집단에서 90점 이상 을 받은 학생이 모집단에서 90점 이상 받을 확률이 80% 등일 때의 두 집단 간의 관계를 알고 싶어. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 죄송합니다, 이전에 작성한 답변에 오류가 있었습니다. 다시 한번 설명 드리겠습니다. 표본집단 500명 중 90점 이상을 받은 인원이 모집단 400,000명 중 90점 이상를 받을 확률이 100% 일 때와 90%일 때, 그리고 80%일 때의 두 집단 간의 관계를 살펴보겠습니다. 우선, "표본집단에서 90점 이상을 받은 인원이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 100%"이라는 말은 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생이 모집단 전체에서 반드시 90점 이상을 받는 학생이라는 뜻입니다. 이 경우, 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생들이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 100%로 결정적이며, 이는 두 집단 간의 관계가 매우 강하다고 해석할 수 있습니다. 반면에, "표본집단에서 90점 이상을 받은 인원이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 90%"이라는 말은 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생들이 모집단에서 90점 이상을 받을 가능성이 높다는 뜻입니다. 이 경우, 두 집단 간의 관계는 상대적으로 강하지만, 확실한 결정적인 관계는 아니라는 것을 의미합니다. 마지막으로, "표본집단에서 90점 이상을 받은 인원이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 80%"이라는 말은 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생들이 모집단에서 90점 이상을 받을 가능성이 낮다는 뜻입니다. 이 경우, 두 집단 간의 관계는 상대적으로 약하다고 해석할 수 있습니다. 따라서, 이러한 정보를 종합해보면, 두 집단 간의 관계는 표본집단에서 90점 이상을 받은 인원이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 높을수록 강하고, 확률이 낮을수록 약해진다는 것을 알 수 있습니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 관계가 강하다는 것은 표본집단이 모집단을 대표할 수 있다는 뜻으로 해석할 수 있을까? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 아니요, 관계가 강하다는 것은 표본집단에서 관측된 결과가 모집단 전체에서도 일정한 경향성을 보인다는 것을 의미합니다. 따라서, 표본집단이 모집단을 대표할 수 있는지 여부는 두 집단 간의 관계와는 직접적인 상관관계가 없습니다. 예를 들어, 표본집단에서 90점 이상을 받은 학생이 모집단에서 90점 이상을 받을 확률이 높다고 해서 반드시 표본집단이 모집단을 대표한다는 것은 아닙니다. 따라서, 두 집단 간의 관계와 표본집단이 모집단을 대표하는지 여부는 별개의 문제입니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 그럼, 표본 집단이 모집단을 대표할 수 있다고 말하려면 어떤 조건들이 있어야해? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 표본 집단이 모집단을 대표하기 위해서는 다음과 같은 조건들이 필요합니다. 1.  무작위 추출(Random Sampling) : 표본 집단은 모집단 전체에서 무작위로 추출되어야 합니다. 이를 통해 모집단의 다양한 특성들이 표본 집단에 반영될 수 있습니다.      2.  충분한 크기(Sufficient Size) : 표본 집단의 크기가 충분해야 합니다. 이를 통해 표본 집단이 모집단의 전반적인 특성을 잘 반영할 수 있습니다.      3.  표본 오차 제어(Control of Sampling Error) : 표본 집단에서 관측된 결과는 표본 오차에 영향을 받습니다. 따라서, 표본 오차를 제어하여 표본 집단에서 관측된 결과가 모집단의 실제 특성을 정확히 반영하도록 해야 합니다.      위의 조건들을 충족시키면서 표본 집단을 구성하면, 해당 표본 집단이 모집단을 대표할 가능성이 높아집니다. 하지만, 이 역시도 표본 집단이 모집단을 완벽하게 대표할 수 있는 것은 아니며, 모집단의 특성에 따라 다를 수 있습니다. 따라서, 표본 집단이 모집단을 대표하는지 여부는 항상 주의해서 판단해야 합니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 그러면, 선거날 투표를 하고 나오는 사람들을 대상으로 출구조사를 한다고 할 때 그 결과로 당선 여부를 방송에서 이야기하잖아. 이는 표본집단이 모집단을 대표한다는 가정하에서 진행하는 것이지 않아? 물론 출구 조사 결과와 실제 당선 결과가 다를 수는 있지만. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 맞습니다. 출구조사는 선거일에 투표를 마친 후 투표소를 나온 사람들을 대상으로 조사하는 방법입니다. 이 때, 출구조사에서 얻은 결과는 표본 집단을 대상으로한 조사 결과이며, 이를 통해 모집단의 특성인 실제 선거 결과를 예측하려는 것입니다. 출구조사는 표본집단이 모집단을 대표한다는 가정 하에 진행되며, 이를 바탕으로 예측된 결과가 얼마나 정확한지에 따라 예측 성능이 결정됩니다. 하지만, 출구조사에서 얻은 결과와 실제 선거 결과가 다를 수 있기 때문에, 출구조사 결과에 대한 신뢰도를 고려해야 합니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 위 출구 조사나 어떤 사안에 대한 여론 조사를 실시하고 결과를 발표하는 것은 모두 무작위로 표본 집단을 추출한 것인데 이렇게 하면 오류가 있을 수 있잖아. 그런데 이들을 대상으로 하는 결과를 발표하는 것은 오류를 내포하므로 신뢰성에 문제가 있을 수 있을텐데, 어떻게 이 문제를 보정할 수 있는거지? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 맞습니다. 여론 조사나 출구조사에서 표본집단을 무작위로 추출하는 것만으로는 완벽한 결과를 얻을 수 없습니다. 예를 들어, 표본집단이 모집단을 대표하지 못할 경우, 무작위 추출이라도 오류가 발생할 수 있습니다. 이러한 오류를 줄이기 위해서는 여러가지 방법이 있습니다. 첫째, 표본의 크기를 적절하게 결정해야 합니다. 큰 표본을 사용하면 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 둘째, 여러 가지 조사 방법을 사용하면서 결과를 교차분석하는 것입니다. 예를 들어, 여론 조사에서는 인터넷 조사, 전화 조사, 면접 조사 등 여러가지 조사 방법을 사용합니다. 이러한 결과를 교차분석함으로써 오류를 줄일 수 있습니다. 셋째, 가중치(weighting)를 사용하는 것입니다. 가중치는 표본에서 얻은 결과를 모집단에 적용할 때 발생하는 왜곡을 보정하는데 사용됩니다. 예를 들어, 특정 그룹이 표본집단에서 적게 포함되어 있다면, 그 그룹의 결과에 가중치를 부여하여 보정하는 것입니다. 이러한 방법들을 함께 사용하여 여론 조사나 출구조사 결과의 신뢰성을 높일 수 있습니다. 하지만 완벽한 결과를 보장하는 것은 불가능하므로, 결과를 해석할 때는 항상 주의해야 합니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 가중치는 어떻게 부여할 수 있을까? 좀 더 구체적으로 설명해 줘. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 가중치는 각 표본이 모집단을 대표할 수 있도록 추출되었는지 여부에 따라 부여됩니다. 예를 들어, 특정 특성을 가진 집단이 전체 인구의 10%를 차지한다면, 그 집단에서 무작위로 추출한 표본에는 더 높은 가중치가 부여되어야 합니다. 이렇게 하면 전체 인구에 대한 비율을 더 정확하게 반영할 수 있습니다. 또한, 가중치는 각 표본의 크기와 복잡성 등 다양한 요소를 고려하여 부여될 수 있습니다. 가중치는 통계 소프트웨어를 사용하여 계산될 수 있으며, 일반적으로 표본 조사 시에는 이를 고려하여 설계합니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 만약 특정 후보에 대한 지지도를 조사한다고 가정할게. 그런데 특정 연령대의 사람들이 진보적 성향이 강하다고 한다면, 그리고 그들이 표본에 20% 정도 차지했다면, 다른 표본의 사람들의 성향을 고려해서 이들의 의견을 100% 반영하는 것이 아니라 70%만 반영한다든지 하는 게 가중치를 적용한 것이라 볼 수 있는거야? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 네, 맞습니다. 가중치를 적용하면 조사 대상 그룹의 구성 비율과 해당 그룹의 특성을 고려하여 전체 결과에 가중치를 부여할 수 있습니다. 예를 들어, 연령대에 따라 지지도가 다르다면, 해당 연령대가 전체 인구의 몇 퍼센트를 차지하는지를 고려하여 그들의 의견에 가중치를 부여할 수 있습니다. 이렇게 함으로써 전체 결과가 보다 정확하고 대표적인 결과가 될 수 있습니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 그럼, 전체 인구 중 10대가 5%, 20대가 10%, 30대가 15%, 40대가 15%, 50대가 25%, 60대 이상이 35%라고 가정할게. 그리고 60대 이상이 보수적 성향이 강하다고 하고, 40대와 50대가 진보적 성향이 강하다고 하면 보수적 성향이 강한 후보에 대한 지지율을 조사할 때 40대와 50대의 지지도를 합친 것과 60대 이상의 지지도를 비슷한 비율로 반영하면 되겠네. 그리고 만약 진보적 성향이 50대만 나타난다면 60대 이상과 50대의 지지도 반영 비율을 달리해야 하는 거라고 보면 되는거야? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 맞아요. 가중치를 적용하기 위해서는 각 연령대별 인구 비율과 해당 연령대에서의 성향을 고려하여 적절한 가중치를 설정해야 합니다. 예를 들어, 보수적 성향이 강한 후보에 대한 지지도를 조사할 때, 40대와 50대의 지지도를 합쳐서 반영하고 60대 이상의 지지도를 40대와 50대의 지지도보다 적게 반영하면 됩니다. 그리고 만약 진보적 성향이 50대에서만 나타난다면, 50대의 지지도를 다른 연령대의 지지도보다 높게 반영해야 합니다. 이렇게 각 연령대별로 가중치를 적용하면 조사 결과가 더욱 신뢰성 있게 나타날 수 있습니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 그렇다면 모집단보다 성적이 우수한 지역에서 표본집단을 추출하여 성적 통계를 냈다고 가정을 하면, 평균은 표본 집단에서 모집단에 비해 높게 나올 것이고, 분산은 표본 집단에서 더 낮게 나올 가능성이 높잖아. 이 경우 가중치를 계산하려면 어떻게 하면 될까? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 가중치는 표본집단을 모집단에 대표하도록 만들어주는 기술로, 표본집단이 모집단과 유사한 구성을 가지도록 보정하는 역할을 합니다. 이를 위해서는 표본집단과 모집단의 특성을 파악하고, 그 차이를 고려해서 가중치를 부여해야 합니다. 만약 모집단보다 성적이 우수한 지역에서 추출한 표본집단을 대상으로 분산과 평균을 구하는 경우, 분산이 작아지는 경향이 있으므로 이를 보정하기 위해서는 가중치를 더해줄 필요가 있습니다. 이를 위해서는 해당 지역의 인구비율과 모집단의 인구비율을 비교해서, 해당 지역에서 추출한 표본집단의 비율이 모집단의 비율보다 높은 경우 더 작은 가중치를 부여하고, 반대의 경우 더 큰 가중치를 부여하는 방식으로 보정할 수 있습니다. 가중치를 계산하는 방법은 여러 가지가 있지만, 일반적으로는 표본집단에서 각 개체가 모집단에서 차지하는 비중을 나타내는 비표본확률(probability of selection)과 표본집단에서 해당 개체가 차지하는 비중을 나타내는 적중률(sampling weight)을 곱해서 계산합니다. 이를 통해 표본집단이 모집단을 대표할 수 있도록 보정된 가중치를 계산할 수 있습니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 예를 한 가지 들어 줄 수 있어? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 예를 들어, 대학교에서 학생들의 성적을 조사하기 위해 1학년부터 4학년까지의 학생들을 대상으로 표본 조사를 실시하였다고 가정해봅시다. 이때, 표본집단에서는 성적이 좋은 학생들이 많을 가능성이 있기 때문에 모집단에 비해 평균이 높게 나올 수 있습니다. 이 경우에는 각 학년별로 모집단에서의 성적 분포를 알아내고, 표본집단의 각 학년별 비율과 모집단의 각 학년별 비율을 비교하여 가중치를 계산할 수 있습니다. 이렇게 가중치를 계산하여 통계 분석을 하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 구체적인 점수를 예를 들어서 설명해 줘. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 예를 들어, 모집단의 성적 분포가 평균 70점, 표준편차 10점인 경우를 생각해보겠습니다. 이때 모집단 중에서 성적이 우수한 상위 10% 구간을 대상으로 표본을 추출한다고 가정해봅시다. 그리고 이 표본의 평균이 80점, 표준편차가 5점이라고 하면, 이 표본을 가중치를 적용하여 모집단을 추정할 때는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 가중치 = 모집단의 비율 / 표본의 비율 모집단의 비율은 상위 10% 구간이므로 0.1입니다. 표본의 비율은 전체 모집단에서 추출한 표본의 비율이 아니라, 상위 10% 구간에서 추출한 표본의 비율이므로 1입니다. 따라서 가중치는 0.1/1 = 0.1입니다. 이제 이 가중치를 이용하여 모집단의 평균을 추정해보면 다음과 같습니다. 모집단의 평균 = (표본의 평균 \* 가중치) + (전체 모집단의 평균 \* (1-가중치))   \= (80 \* 0.1) + (70 \* 0.9)   \= 71 이렇게 가중치를 적용하여 모집단을 추정하면, 모집단의 실제 성적 분포와 더 근접한 추정치를 얻을 수 있습니다.